Voici un problème qui m'a été posé par M. Gouy, IA-IPR, lors d'une
journée de formation : Quel est le lieu du sommet de l'angle droit
d'une équerre qui glisse contre un mur ?
Ce problème peut être résolu dès la classe de 3°.
Il
a son pendant au niveau 4° avec le cas plus simple de la règle
qui ne tient pas en place et qui glisse également contre le mur : Quel
est le lieu du milieu de la règle lorsqu'elle glisse ? (on peut même
prolonger ce problème au lycée avec l'étude du lieu d'un point de la
règle autre que le milieu...)
L'équerre qui glisse :
On peut manipuler cette figure en "attrappant" le point noté "manip.
ici" avec la souris.
Ma solution :
-Faire apparaître les indices sur la figure ci-dessus.
-On
voit le cercle circonscrit de l'équerre. Ce cercle passe par l'origine
du repère. En effet, les deux triangles ABC et KBC sont rectangles et
ont la même hypoténuse. Leur cercle circonscrit est donc le cercle de
diamètre [BC]. Appelons M le milieu de [BC] : M est donc le centre du
cercle. On a alors deux angles particuliers à considérer dans ce cercle
: l'angle au centre et l'angle inscrit de sommet A et interceptant
l'arc KC. L'angle inscrit mesure la moitié de l'angle au centre, qui
est un angle de mesure fixe, puisque l'équerre est un objet solide.
L'angle CAK a donc toujours la même mesure, quelle que soit la position
de l'équerre. Le point K se promène donc sur un segment !
NB : Si
l'équerre "traverse les murs", il faut reconsidérer les angles à
comparer dans chaque cadran de cette figure, mais le principe reste le
même.
La règle qui glisse :
On peut manipuler cette figure en faisant glisser à la souris le point
C sur le "plancher".
Ma solution :
-Faire apparaître les indices sur la figure ci-dessus.
-Le
triangle ABC est rectangle, et [AM] est la médiane issue de l'angle
droit. Elle mesure donc la moitié de la longueur de l'hypoténuse : le
point M est donc toujours à une même distance du point A : M se promène
donc sur un quart de cercle de centre A et de rayon une demi-règle.
