Le site des maths à Malo

Quatre villages sont les sommets d'un carré de 10km de côté. On doit les relier par des segments dont la longueur totale doit être minimale. Pour commencer, on pourra étudier les trois situtations suivantes : tracé en X, en H et en Z ; on calculera la longueur totale des segments.

On constate que les longueurs sont différentes selon la configuration choisie. Cherchons maintenant à minimiser cette longueur en choisissant une configuration intermédiaire entre celle en X et celle en H, comme le montre la figure mobile suivante :

Etude de fonction

Appelons x la longueur du segment [KH]. Les points E et F sont au milieu des côtés du carré. Les longueurs EK et HF sont égales.

Premier essai avec une valeur

• Lorsque x vaut 5, combien mesurent les segments [EK] et [HF] ?
• Calculer alors la longueur du segment [AK].
• En déduire la longueur totale des cinq segments.

Etude générale

On pourra répondre à ces questions :

• Quelles sont les valeurs possibles de x ?
• Combien mesurent les segments [EK] et [HF] en fonction de x ?
• Calculer alors la longueur du segment [AK] en fonction de x.
• En déduire la longueur totale des cinq segments en fonction de x.
• Construire un tableau des images de x, lorsque x varie de sa longueur minimum à son maximum.
• Construire la représentation graphique de cette fonction, en choisissant bien les unités graphiques.
• Quelle est la valeur de x qui minimise la longueur totale des segments ? Quelle est cette longueur totale minimum de segment pour relier les quatre villages ?
• Dans cette position, déterminer la mesure des trois angles AKD, DKH et HKA. Quelle remarque peut-on faire ?

Pour cette étude, on pourra utiliser l'outil informatique pour les questions "tableau" et "représentation graphique". On pourra également, après avoir répondu à ces questions, utiliser Geogebra pour dessiner une telle figure et demander la longueur totale des cinq segments ; cela pour confirmer les résultats de l'étude numérique.