Quatre villages sont les sommets d'un carré de 10km de côté. On doit les relier par des segments dont la longueur totale doit être minimale. Pour commencer, on pourra étudier les trois situtations suivantes : tracé en X, en H et en Z ; on calculera la longueur totale des segments.
On constate que les longueurs sont différentes selon la configuration choisie. Cherchons maintenant à minimiser cette longueur en choisissant une configuration intermédiaire entre celle en X et celle en H, comme le montre la figure mobile suivante :
Pour comprendre le problème, déplacer à la souris le point rouge marqué DéplaceH
Appelons x la longueur du segment [KH]. Les points E et F sont au milieu des côtés du carré. Les longueurs EK et HF sont égales.
On pourra répondre à ces questions :
Pour cette étude, on pourra utiliser l'outil informatique pour les questions "tableau" et "représentation graphique". On pourra également, après avoir répondu à ces questions, utiliser Geogebra pour dessiner une telle figure et demander la longueur totale des cinq segments ; cela pour confirmer les résultats de l'étude numérique.
Hervé MANTION - Enseignant en mathématiques
au Collège Gaspard Malo - 1290 Bld de l'Europe - 59240 Dunkerque
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